之狂想资料篇 四 ——律学

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    律学
　　
　　    studyoftemperament
　　
　　    研究律制构成与应用的科学。
　　
　　    律学的对象与任务律学须对音乐所用的音律进行研究。音乐所用的音绝大多数是有确定高度的，律制则是以某特定音程为基础，用数学方法规定的一系列乐音高度的体系。体系中的每个单位称为“律”；音阶是按照音程关系的一定规格从律制中选择若干律而构成的音列，其中的每个单位称为“音”。“音”与“律”合称“音律”时，除指律制外，兼指在高度上作精确规定的所有乐音。
　　
　　    律学属于音响学音乐声学、数学与音乐学的交缘学科。音乐中所有音高方面的研究都涉及律学。例如：旋律音程的结构与音准;调式与和声理论中的和谐原理;多声部纵向结合时的各种音程关系；转调理论；乐器制造及调律中的音准与音位的确定；重唱重奏、合唱合奏中的音准调节；……等等。由于音律是与音乐本身的存在紧密联系的，所以尽管律学的研究必须通过物理学与数学的方法，但同时也还必然涉及世界各民族音乐中实际运用的音阶、调式，律学在实际中的应用与发展等方面，它最终是为音乐表演的完善、音乐创作的发展、音乐文化的全面提高服务的。
　　
　　    长度比、频率比、周期比与音程值不同的律制由不同的生律法决定的，而生律法则与所选择的音程及其计算方法相关。古代人通过发音体(管、弦)的长度比例关系来理解并计算音程。这比例可用整数比的形式来表示,例如,相距纯五度的两音发音体的长度，较低者的长度:较高者的长度＝3∶2;也可用假分数写出其比值，例如把3∶2写成3/2。相距纯四度的,其长度比是4:3＝4/3。相距纯正协和的大三度的,其长度比是5∶4＝5/4。这些数，在古代（中国、印度、希腊等古国）都作为长度比用以计算音程。到近代，人们开始从单位时间内的振动数(频率)的角度出发,以更精密的方法来研究音高,因而，音程关系也通过频率比来理解与计算。例如，相距纯五度的两个音,较高者的频率：较低者的频率＝3∶2＝3/2。由于频率与长度成反比，建立比例式时只要高低音在前后项的位置颠倒过来，所得的比例数就完全相同，所以古代所用的比例数在近代仍然是有效的，只是对于数字所代表的两音的高低作了相反的解释罢了。经过重新解释以后，同样这些数字就成为频率比了。进入现代，又转向微观的思考，从频率转到周期。例如振动频率为每秒钟440次，则振动周期为每次1/440秒，这也就是时间中的波长。从周期的长度来看比例关系，就重新回到低者较长而高者较短的对应关系，与古代所用的长度比完全吻合了。这样，上述那些比数就又可以作为周期比来用了。
　　
　　    无论用长度比、频率比还是周期比，都有其不便之处：在比较两个近似音程的大小时，必须通过乘法或除法，不经过一番计算就不能了解何者较大，大多少，而两音程相加减，则又必须作乘除运算。一个音程扩大到多少倍、划分成多少等分，则要作乘方、开方运算。随着数学的发展，19世纪开始将对数概念引进音程的计量，建立了“音程值”概念。计算音程值的方法，是把某音程的频率比值换算成对数，并依一定意图制定某种单位名称。有了音程值以后，音程的大小就可一目了然，音程加减可用音程值加减来算，音程扩大到多少倍或划分成多少等分也可用简单的乘除法来算。各国现多以“音分”为音程值的单位，此为英国数学家兼比较音乐学家、语言学家a.j.埃利斯(1814～1890)所创用。八度的音程值为1200音分,每个平均律半音为100音分。任何律制中的任何音程的音分数都可根据频率比通过常用对数算得：先求出比例常数，再把各音程频率比的常用对数乘以比例常数,即得。比例常数是:八度的音分数÷八度频率比值2的常用对数＝1200÷0.30103＝3986.313。如欲求纯五度的音分数,就把纯五度频率比值(3∶2＝1.5)的对数(0.17609)乘以比例常数：0.17609×3986.313=701.950，常将小数四舍五入，作702音分。除音分外,音程值的其他单位制尚有“萨瓦尔”，为法国人f.萨瓦尔（1791～1841）所创用。只要把某音程频率比值的常用对数乘以1000，即得萨瓦尔数，因此1萨瓦尔≈4音分。“密优”（μ）即“千分八度”，德国音乐学家h.里曼、音乐教育家兼语言学家c.艾爱兹(1848～1924)都使用这种音程值。把八度计量为1000个“密优”，因此1密优＝1.2音分。“全音”即“六数八度”，为日本音乐学家田边尚雄所创用。把八度计量为6个全音，1全音＝200音分。生律法的自然依据古代任何民族的生律法所用的长度比例，都是一些简单整数比，这是有它的自然依据的。在每一个乐音内部都存在着一个基音与一系列泛音的音程结构，这一原理虽然迟至17世纪才由法国音乐理论家m.梅尔塞讷(1588～1648)所发现，但这一事实的存在自古已然，对于原始人类的和谐感已经发生作用。只有当两音的音程关系符合泛音列中占优势的音程关系时，才使人感到和谐，古代选作生律法依据的就是这样一些协和音程。泛音列又称谐音列、分音列、倍音列，其音程结构与频率比例、周期比例（振动体长度比例亦然）
　　
　　    见表1。
　　
　　    讲述泛音列构造时，为使音的号数与各自的比例当数恰能吻合，就不说泛音号数，而说谐音号数。以基音为1号谐音,第一泛音为2号谐音,第二泛音为3号谐音,所有自然产生的生律法所依据的音程都可以在谐音列中找到：1与2号谐音之间的八度距离，是任何生律法中都要用到的，纯五度是2、3号谐音的距离，纯四度是3、4号谐音的距离,纯正协和的大三度是4、5号谐音的距离,阿拉伯音乐惯用的中三度则符合9、11号谐音的距离,等等。只是到了律制发展得较复杂以后，人们为了寻找循环旋宫与自由转调的可能性,才仅用八度这一种自然音程,而其他所有音程都偏离自然规范,运用开方的方法得到,以建立平均律。故人们称平均律制为“人工律”，而以往各种依据自然音程的律制则统称“自然律”。
　　
　　    一、五度相生律
　　
　　    五度相生律在八度关系倍半相生的前提下，以纯五度、纯四度两种音程为生律法的依据而建立的律制，称为五度相生律。中国古代的三分损益律，古希腊按照毕达哥拉定律法所建立的律制，中世纪阿拉伯人继承古希腊文明而在“量音学”中采用四度相生法以建立的律制,都是如此。假如从c出发,向上五下四度方向生律5次，向上四下五度方向(这不符合三分损益法,是七弦琴上所用的“反生法”,被隋代郑译贬斥为“乖相生之道”)生律1次，就得到如下七声音阶(下徵调新音阶)，见表2。
　　
　　    假如按中国古代传统，从黄钟出发，用“三分损益法”向上五下四度方向辗转生律11次，就得到如下“三分损益律半音音阶”，见表3。
　　
　　    在五度相生十二律音阶上，半音有两种：一种是小半音，长度比是256∶243，音程值为90音分，现代记谱作小二度，古希腊称为“林玛”；另一种是大半音，长度比是2187∶2048,音程值为114音分，现代记谱作增一度，古希腊称为“阿波托美”。相应地，全音也有两种：一种是大全音（在五声音阶里就有的，普通的），长度比是9∶8，音程值为204音分;另一种是小全音（两个小半音相加所得，无射正律与黄钟半律的距离），长度比是65536∶59049（即□∶□），音程值为180音分。
　　
　　    三分损益辗转相生第12次所得的第13律，长度略短(音略高)于首律黄钟，两者的长度比是531441∶524288(即□∶□)，音程值为24音分。这就是中国古代乐律学中有名的“仲吕上生不及黄钟”的问题。古希腊的律学研究者也发现了这个音差，称之为“毕氏音差”。由于这个音差被发现的时代很古，今人称之为“古代音差”，又称“最大音差”。京房与钱乐之从这偏差走向60律和360律,何承天与朱载□则为弥合这缝隙而走向平均律。
　　
　　    二、纯律与中庸全音调律法
　　
　　    除了用纯八、五、四度生律，再增添纯正协和的大三度这一新的音程作为生律法的依据，而形成的律制，称为纯律。纯律不同于五度相生律的主要特点是，由于纯律（纯正协和的）大三度略小于五度相生律的大三度，故在其最普通的自然七声音阶中即已存在小全音与大半音。这小全音是纯律大三度与大全音之差，5/4÷9/8=10/9，其长度比是10∶9，音程值为182音分。这大半音是纯四度与纯律大三度之差，4/3÷5/4=16/15，其长度比是16∶15,音程值为112音分。
　　
　　    以纯律律制构成的自然大调音阶见表4。

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